反比例意义
反比例意义教学案例与反思
实验小学：马冬梅
一、开门见山，引出课题
师：同学们，上节课我们学习了正比例关系的知识，这节课我们来学习......（故意停止，等待回答。）
生：负比例。
生：反比例。
师：你们虽用词不同，但都想表达同一个意思，就是今天所学的知识是与正比例关系相反的，我们在数学上称两个量成反比例关系。
【反思：以前的设计是出示情境图，让学生根据表中的信息提出问题，发现对应数据的变化，引出对这两种量关系的探索，最后总结出这样的两个量就是成反比例的两个量，他们的关系就是反比例关系。但有了课前不经意的调查，我转变了思路，既然学生已经能猜出反比例关系，何不直接引入新知识的探究？】
二、猜测反比例关系特点
师：现在同学们大胆猜想一下：成反比例的两个量有什么特点？或者说什么样的两个量成反比例关系？
生1：我认为可能是两种不相关的量，因为正比例关系是研究的相关联的两个量。
生2：我认为是比值不一定的，因为正比例的两个量比值一定。
生3：我认为是两种量的变化方向相反的，因为正比例的两个量变化方向相同。
生4：我认为是总量一定的，因为正比例的两个量都是部分一定。
（教师简单记录）
【反思：这节课的研究问题已经引出来了，原想就可以出示信息图来研究反比例的关系特点了。但是我又转变了思路，既然学习了正比例关系的特点，学生有了已有知识做基础，能不能插上联想的翅膀，运用知识之间的迁移，对反比例关系的特点进行大胆的猜测呢？事实看来，学生知识联系的运用能力是很强的，这无意之间也渗透了对比学习的重要方法。】
三、自主探究，验证猜测
师：这都是同学们的猜测，正确与否还需要我们去验证，是想自己验证还是一起验证？
生：自己验证。
师：（出示情境图）我们说每天生产的天数与需要生产的天数成反比例关系。现在小组合作研究，成反比例的两个量有什么特点？
学生合作开始。
（5分钟左右）
小组汇报：
组1：我们组发现成反比例的两个量是有关系的，每天生产的吨数和需要生产的天数就有关系，生产的天数随每天生产天数的变化而变化。这说明我们刚才的猜测两个量不相关是错误的。
组2：我想给他们补充，从信息图表格看出，每天生产的吨数越多，生产的天数就越少，这说明成反比例的两个量变化方向是相反的，这说明我们的猜测是正确的。
生：我还是想用我的“面包理论”解释一下，假设有10个面包，如果你每天吃的多了，那么你吃的天数就少了。
（同学们点头同意）
师：通过这两个小组的结论我们看出，成反比例的两个量是相关联的，而且两个量的变化方向是相反的，一个量扩大，另一个量就缩小，反之，一个量缩小，另一个量就扩大。
组3：我们发现这两个量的乘积是一定的，100×60=200×30=300×20=300×20=400×15=500×12=6000，所以我们推测成反比例的两个量乘积是一定的，但还不确定。
组4：我们组计算了这两个量的比值，发现是不同的100：60≠200：30≠300：20……，所以成反比例的两个量比值不同，我们刚才的猜测是正确的。
组5：我们组认为不应该计算它们的比值，因为用每天生产的吨数：生产的天数，求出的比值是无意义的。应该求它们的乘积，这样算出来是这批啤酒的总吨数。
师：你们组很善于思考，也就是说我们应该结合题目的条件和实际意义，来看一下是不是应该求比值，比值是不是有实际的意义。
张枫：我刚才举的“面包理论”每天吃的个数与吃的天数我猜也应该成反比例。
师：对，这两个量是成反比例的，现在我们以这个例子来看它们的乘积是不是一定的。
生1：每天吃的个数×吃的天数=10（个），总个数是一定的。
生2：那我们开始的猜测总量一定是正确的。
生3：我认为这个意思对，但表达不准确，比如路程一定，速度和时间成反比例，就不能说总量一定。
生5：我们可以说成反比例的两个量乘积是一定的，不管是求的总量还是路程，都是这两个量的乘积。
师：经过同学们的辩论，反比例关系的特点已经很明显了，现在我们总结一下吧。
生：成反比例的两个量是相关联的，且变化方向相反，而且这两个量的乘积是一定的。
【反思：有了前面的猜测，学生的合作就有了目标——通过观察、计算表格数据，来验证他们的猜测是否正确。其中两个量相关联是很容易看出的，也很容易看出乘积是一定的，难点应该在为什么求乘积而不求比值，而这一点如果没有前面的猜测，也就不会有这么精彩的辩论，理解体验的也就不会这么深刻。】
四、巩固练习反比例关系
师：那同学们会判断两个量成反比例了吗？
生：两个条件：相关联、乘积一定。
出示自主练习1
五、正、反比例关系比较
师：同学们，这节课我们学习了反比例关系，你认为正、反比例有什么不同和相同？
生：成正比例的两个量变化方向相同，比值一定；成反比例的两个量变化方向相反，乘积一定。
生：它们都是两个相关联的两个量。
【反思：正、反比例关系的比较本是下节课的内容，但我放到了最后的总结上，因为在前面的猜测中，学生就是通过与正比例关系的对比来猜测的反比例关系的特点，那么这里的对比总结就容易多了也成了顺理成章的事情，这样，还扩大了课堂的容量，下节课只需做些相关的习题即可。】
【教学札记】
1、 了解学生才能备好学生。
通过和学生之间的交流，我了解了学生的想法，他们在潜意识里已经能联想到与旧知识有关的新知识，如果我能利用好这些宝贵的想法，不仅能激发学生学习这节课的欲望，还能培养孩子善于猜测，大胆猜测的良好习惯。也正有了课前对学生的了解，所以我及时调整了教学思路，开门见山地引出了研究的内容。
2、让学生经历猜测的过程，激发探究的欲望。
按照原本的思路，这节课和正比例关系的教学思路基本一样，情境图引入，观察数据特点，得出成反比例的
量的特点。如果那样，学生也能学得很好，但是千篇一律的教学思路肯定激不起学生的积极性。于是，我设计了猜测这一环节，既然学生心中已经知道正反比例是相反的，那反在哪里？学生根据正比例的特点猜测出了反比例关系的特点，对不对？相信不用多言，学生的探究欲望已经被激起。而这种猜测，正是利用了知识之间的正迁移，把学生带进问题情境，让学生插上联想与想象的翅膀，对所学知识进行推测、猜想。这样的猜测，不仅培养的学生的猜测能力，还渗透了知识之间的对比。
3、促成学生之间的精彩辩论。
课上最令我欣喜的，是学生之间的相互质疑，一个个的谜团在你言我语的争论中被揭开，为什么比值不同不能成为反比例关系的特点？经过辩论，我们明白了要结合实际意义去判断是求比值还是求乘积。怎样才能把反比例关系的最大特点表述清楚？总量一定不全面，再次辩论，最后达成一致：乘积一定。
【结束语】
著名数学教育家波利亚指出：“学习任何知识的最佳途径是自己去发现。因为，这种发现理解最深，也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”我想要想做到这点，须以学生的已有经验为依据，以巧妙的教学设计为载体，以学生的自主学习活动为重点。
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